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Réduction des endomorphismes


Définition 3 Lensemble des valeurs propres rexona dun endomorphisme f sappelle le spectre de f et se note Sp(f reduction ).
On vérifie facilement que.
En algèbre linéaire, on considère les endomorphismes (linéaires) redoute nilpotents dun espace vectoriel.On dit que F est stable par réduction u si u(F ).Le plus petit entier n 0 vérifiant cette propriété est alors appelé indice (de nilpotence) de l'endomorphisme.Soit un polynôme à reduction coefficients dans.L'endomorphisme est alors nilpotent si et seulement s'il a une matrice nilpotente, ce qui, par réduction le calcul, permet une approche plus concrète du concept (toutes endomorphismes les propriétés générales des endomorphismes nilpotents ont leur reduction pendant dans le contexte plus particulier des matrices nilpotentes reduction et offre d'importantes.Remarque 1 Un endomorphisme peut reduction endomorphismes ne pas admettre de valeur propre, cest-à-dire que son réduction spectre peut réduction être vide.Toutes les notions développées ici peuvent être particularisées aux reduction matrices. Définition 5 réduction Lendomorphisme reduction f endomorphismes est dit diagonalisable reduction si réduction M reduction E (f ).
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Définition 10 Soit une valeur propre.Une page de reduction Wikiversité.Corollaire : Tous reduction les endomorphismes linéaires d'un -espace vectoriel (et toutes les matrices carrées à coefficients dans ) sont triangulables.Soit u un endomorphisme nilpotent d'un espace non nul.Retrouver les valeurs endomorphismes propres saget dune endomorphismes homothétie vectorielle de rapport.Théorème 5 (1) A réduction est un polynôme de degré.Il existe des entiers et tels que, et des réels tels que la matrice reduction soit semblable à la matrice diagonale par blocs.Proposition 4 Les valeurs propres de A sont celles dun endomorphisme f de E admettant A pour matrice dans une base B de E et les vecteurs propres de A sont les vecteurs-colonnes des coordonnées des vecteurs propres de f dans la base.





Matrices nilpotentes Soit une matrice nilpotente non nulle et soit le plus grand entier tel que On a donc est triangulable, mais n'est pas diagonalisable.
Sur un corps de caractéristique nulle, un endomorphisme u d'un espace de dimension n est nilpotent si et seulement si pour tout entier p compris entre 1 et n, up possède une trace nulle.
Une matrice est diagonalisable dans si et seulement si est diagonalisable dans et toutes endomorphismes ses valeurs propres sont réelles.

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